SARIMA QUÉ ES

En estadística, a menudo, las series temporales poseen un componente estacional que se repite en todas las observaciones. Para las observaciones mensuales s = 12 (12 en 1 año), para las observaciones trimestrales s = 4 (4 en 1 año). Para hacer frente a la estacionalidad, los procesos ARIMA han sido generalizados, estableciendo los modelos SARIMA (Seasonal Autoregressive Integrated Moving Average Model).

Φ (B) ∆d Xt = θ (B) αt

donde αt es tal que

sΦ (Bs) ∆Ds αt = sΘ (Bs) at

y por lo tanto

Φ (B)s Φ (Bs) ∆Ds ∆d Xt = θ (B)s Θ (Bs) αt

y escribimos Xt ~ ARIMA (p, d, q) × (P, D, Q) s. La idea es que los modelos SARIMA son modelos  ARIMA (p, d, q) cuyos residuos αt son ARIMA (P, D, Q). Con ARIMA (P, D, Q) proponemos modelos ARIMA cuyos operadores se definen en Bs y en potencias sucesivas.

Los conceptos de las regiones admisibles en los modelos SARIMA son análogos a las regiones admisibles para los procesos ARIMA; sólo se expresan en términos de poderes Bs.

Ahora, tomemos en consideración algunos ejemplos de casos especiales:

1. Xt = at – s Θ1 at – 12 es un modelo ARIMA (0, 0, 0) × (0, 0, 1) 12. Sólo hay un componente MA estacional, especificado por s = 12 y Q = 1. Por lo tanto, el ACF se caracteriza por la extensión finita y toma el valor sólo con retraso k = 12. El PACF es infinito extendido con decaimiento exponencial, visible a múltiples de 12 retrasos, que es alterna o monótona según el signo de Θ1.
2. Xt = s Φ1 Xt-12 + es un modelo ARIMA (0, 0, 0) × (1, 0, 0) 12. El componente AR estacional queda determinado por s = 12 y P = 1. Por lo tanto, el ACF se caracteriza por una extensión infinita. El PACF es finito y extendido y toma valor sólo con un retraso k = 12.

CARACTERÍSTICAS DE LOS PROCESOS ARIMA

• d = 0 proceso estacionario
• d = 1 proceso no estacionario: el nivel va cambiando con el tiempo, pero el incremento es constante → el nivel no es estacionario, pero sus incrementos sí lo son
• d = 2 proceso no estacionario: tanto el nivel como los incrementos son estacionarios

Cuando Xt no es estacionario, su ACF teórico no está definido (sólo el ACF empírico lo es). Sin embargo, observando el comportamiento de procesos casi estacionarios podemos poner en evidencia las siguientes regularidades:

1. El ACF disminuye muy lentamente a cero, la disminución no es exponencial de manera lineal.
2. El PACF toma el valor 1 para k = 1 y cero en otro lugar.

Estas características de ACF y PACF están motivadas por el predominio de la tendencia sobre las otras dinámicas de la serie. A menos que se elimine la tendencia, no se puede reconocer nada más de ACF y PACF (por ejemplo, otros componentes MA o AR).

 

Podéis encontrar ejemplos concretos de utilización en Aleasoft.